बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता – Electric Field Entensity Due to a Point Charge Derivation

इस लेख में, हम बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (Electric Field Entensity Due to a Point Charge Derivation) अवधारणा में गहराई से निगमन करेंगे । हम इसके पीछे के गणित और इसके व्यावहारिक निहितार्थों को समझेंगे। इसके संबधित और ही प्रश्नों पर भी ध्यान देंगे।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के क्षेत्र में बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की अवधारणा मौलिक है। यह हमें एक आवेशित कण द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को समझने में मदद करता है। विद्युत क्षेत्र एक वेक्टर क्षेत्र है जो उस प्रभाव का वर्णन करता है जो एक विद्युत आवेशित वस्तु के आसपास के स्थान में अन्य आवेशित वस्तुओं पर होता है। इस लेख में, हम गणितीय Electric Field Entensity Due to a Point Charge Derivation का पता लगाएंगे और यह कूलम्ब के नियम से कैसे संबंधित है।

बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की व्युत्पत्ति

माना +q कुलाम का एक आवेश परावैध्युतांक K वाले माध्यम में बिंदु O पर स्थित है| बिंदु O से r मीटर दुरी पर एक बिंदु P है जिसपर एक परीक्षण आवेश  स्थित है| बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है|

+q आवेश तथा q_०  आवेश के बिच लगने वाला बल,

F=\frac{1}{4\pi\varepsilon {0}K}\times \frac{qq_{0}}{r^{2}}
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता, E=\frac{F}{q_{0}}
E=\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon {0}K}\times\frac{qq{0}}{r^{2}}}{q_{0}}
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon {0}K}\times\frac{qq{0}}{q_{0}r^{2}}
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}K}\times\frac{q}{r^{2}}
यदि माध्यम निर्वात या वायु हो तो K = 1
{\color{Red} \mathbf{E=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\times\frac{q}{r^{2}}}}

इसका मात्रक न्यूटन/कुलाम है|

Electric Field Intensity Due to a Point Charge Derivation: The Math

बिंदु आवेश (q) के कारण अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (E) निम्न सूत्र द्वारा दी गई है:

E = k* q / r²

जहाँ k कूलम्ब स्थिरांक है (k = 9 x 10^9 Nm^2/C^2), q कण का आवेश है, और r कण और अंतरिक्ष में उस बिंदु के बीच की दूरी है जहाँ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है गणना की जा रही है।

Let’s derive this formula step by step:

चरण 1: अंतरिक्ष में बिंदु P पर स्थित बिंदु आवेश (q) पर विचार करें।

चरण 2: मान लें कि हम बिंदु A पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना करना चाहते हैं, जो बिंदु P से r दूरी पर स्थित है।

चरण 3: बिन्दु आवेश की सतह पर आवेश dq के एक छोटे अवयव पर विचार करें। आवेश के इस छोटे से तत्व के कारण बिंदु A पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता इस प्रकार दी गई है:

dE = k * dq / r^2

जहाँ k कूलम्ब स्थिरांक है, dq छोटे तत्व का आवेश है, और r छोटे तत्व और बिंदु A के बीच की दूरी है।

चरण 4: पूरे बिंदु आवेश के कारण बिंदु A पर कुल विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना करने के लिए, हमें बिंदु आवेश की संपूर्ण सतह पर आवेश के प्रत्येक छोटे तत्व के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता को एकीकृत करने की आवश्यकता है। यह हमें देता है:

E = ∫dE = ∫k * dq / r^2

जहां बिंदु आवेश की संपूर्ण सतह पर एकीकरण किया जाता है।

चरण 5: चूँकि बिंदु आवेश गोलाकार रूप से सममित है, हम dq को ρ * dV के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ ρ आवेश घनत्व है और dV आयतन तत्व है। उपरोक्त समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

E = ∫k * ρ * dV / r^2

जहां पॉइंट चार्ज के पूरे वॉल्यूम पर इंटीग्रेशन लिया जाता है।

चरण 6: त्रिज्या R और कुल आवेश Q के समान रूप से आवेशित गोले का आवेश घनत्व (ρ) निम्न द्वारा दिया गया है:

ρ = Q / (4/3 * π * R^3)

उपरोक्त समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

E = k * Q / (4/3 * π * R^3) * ∫dV / r^2

जहां गोले के पूरे आयतन पर एकीकरण किया जाता है।

चरण 7: अभिन्न ∫dV / r^2 को गोले के आयतन तत्व (dV = 4/3 * π * r^3 * dr) का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है। उपरोक्त समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

E = k * Q / (4/3 * π * R^3) * ∫4/3 * π * r^3 * dr / r^2

जहां गोले के पूरे आयतन पर एकीकरण किया जाता है।

चरण 8: समाकलन को सरल बनाना और समाकलन करना,
हम पाते हैं:

E = k * Q / (4/3 * π * R^3) * [r^2/2] from r = 0 to r = R

इस समीकरण को सरल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

E = k * Q * r / (4 * π * ε0 * R^3)

जहाँ ε0 मुक्त स्थान की पारगम्यता है (ε0 = 8.854 x 10^-12 C^2 / Nm^2)।

बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का यह अंतिम सूत्र है।

प्वाइंट चार्ज व्युत्पत्ति के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के निहितार्थ और अनुप्रयोग

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बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के सूत्र में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। यह हमें एक आवेशित कण द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को समझने में मदद करता है, जो विद्युत चुंबकत्व, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स और इलेक्ट्रॉनिक्स जैसे कई क्षेत्रों में आवश्यक है।

बिंदु आवेश व्युत्पत्ति सूत्र के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता हमें एक आवेशित कण द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को समझने में मदद करती है। इस सूत्र की व्युत्पत्ति में कूलम्ब का नियम और विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की अवधारणा शामिल है। इस सूत्र में विभिन्न क्षेत्रों, जैसे इलेक्ट्रॉनिक्स, कण भौतिकी और जीव विज्ञान में व्यावहारिक अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। इसके पीछे के गणित को समझकर, हम इस बात की गहरी समझ हासिल कर सकते हैं कि विद्युत क्षेत्र कैसे काम करते हैं और वे हमारे आसपास की दुनिया को कैसे प्रभावित करते हैं।